LÓGICA DE PREDICADOS

“Obviamente, ‘ser’ no es un verdadero predicado, es decir, un concepto de algo que puede añadirse al concepto de una cosa” (Kant)

“A la lógica le corresponde discernir las leyes de la verdad” (Frege)

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Conceptos Fundamentales
La lógica de predicados de primer orden (LP1) es una extensión de la lógica proposicional. Las características añadidas son:

• La utilización de predicados (o atributos) aplicados a elementos individuales, de tal forma que las proposiciones tienen estructura. La notación utilizada es P(a), o símplemente Pa, siendo P el predicado y a el elemento al que se aplica el predicado. Por ejemplo, “Sócrates es mortal” se codifica como: Mortal(Sócrates).
  
  Un predicado puede afectar o relacionar a n elementos (a₁, a₂, ... , a_n (relación n-aria). En este caso, la notación es P(a₁, a₂, ... , a_n). Por ejemplo, “El Everest es más alto que el Mont Blanc”, en donde a₁ es “El Everest”, a₂ es “El Mont Blanc” y P es “Es más alto que”. Por lo tanto, se codificaría como: Es_más_alto_que(Everest, Mont_Blanc).
  
  
• La utilización de variables de elementos. Por ejemplo, P(x) indica que un elemento variable x tiene la propiedad P.
  
  
• La utilización de cuantificadores. Hay dos cuantificadores estándar: el universal (∀) y el existencial (∃). Estos cuantificadores están ligados a las variables de elementos. Por ejemplo, “Todos los hombres son mortales” se codifica como
  
  
  ∀x(Hx → Mx)
  
  en donde H es el predicado “hombre”, M es el predicado “mortal” y la flecha (→) es el operador de implicación lógica. La sentencia expresa “Ser hombre implica ser mortal”.
  
  Los dos cuantificadores son duales. Esta propiedad se puede expresar de dos formas (en donde “¬” es el operador “contrario” o “negación lógica”):
  
  
  ∀xPx → ¬∃x¬Px
  (si todo elemento tiene la propiedad P, entonces no existe ningún elemento que no tenga la propiedad P)
  
  ∃xPx → ¬∀x¬Px
  (si existe un elemento que tiene la propiedad P, entonces no todos los elementos no tienen la propiedad P)
  
  Una notación alternativa para los cuantificadores, muy utilizada también, es la de Peano para el cuantificador universal: (x). Y o bien no se utiliza ninguna notación alternativa para el cuantificador existencial (al tener un carácter derivado) o se utiliza la forma ∃x.

Problemática

• En la notación P(a) o P(x) no existe un operador (o descriptor) explícito que conecte un elemento (o variable) con el predicado, aunque se puede interpretar (como hizo Frege) como la aplicación de una función: el nombre de la función es P, el argumento es a y el resultado de la función es V (verdadero). Además, lo lógico sería que primero apareciera el elemento y luego el predicado, como en el lenguaje natural, como en “Sócrates es mortal”.
  
  
• La notación P(a₁, a₂, ... , a_n) no describe la estructura de la relación entre los elementos, es decir, no refleja la semántica. La interpretación es de tipo aplicativo funcional (la propiedad P es el nombre de la función y los elementos son los argumentos). Por ejemplo, “Pepe es el padre de David”: Padre(Pepe, David).
  
  La notación P(a₁, a₂, ... , a_n) solo se justifica cuando los elementos a₁, a₂, ... , a_n comparten entre sí la propiedad P. Por ejemplo, “David y Eva son hermanos”: Hermanos(David, Eva).
  
  
• Las variables son solo de elementos. No hay variables de predicados.
  
  
• Los cuantificadores son muy limitados. Solo permiten expresar “Todos” y “Algún”, junto con sus contrarios “Ninguno” y “no-Todos”. Ni siquiera permite expresar “Algunos” (es decir, más de uno).
  
  En general, los cuantificadores posibles se pueden clasificar (además del universal y del existencial) en:
  
  
  • Concretos. Son los que hacen referencia a números. Como “3 hombres”, “12 mujeres”, etc.
    
    
  • Ambiguos o difusos. Como “Muchos hombres”, “Pocos hombres”, “Bastantes hombres”, “Casi todos los hombres”, etc.
    
    
  • Concretos-difusos. Como “entre 3 y 7 hombres”, “Un número par de hombres”, “Al menos 3 hombres”, “7 hombres como máximo”, “Todos los hombres excepto 2”, “Alrededor de 10 hombres”, etc.
    
    
  • Proporcionales. Hacen referencia a una proporciones. Como “La mitad de los hombres”.
    
    
  • Proporcionales-difusos. Como “Más de la mitad de los hombres”, “Alrededor de un tercio de los hombres”, etc.
  
  Lógicos y lingüistas reconocen las limitaciones de los cuantificadores tradicionales, por lo que han tratado de generalizarlos, aunque lo han hecho con diferentes criterios: asociándolos con propiedades de orden superior, con relaciones entre conjuntos, etc. En general, las generalizaciones se han realizado de forma compleja, a nivel teórico y con poco o nulo valor práctico. [ver Aplicaciones – Lógica – Cuantificadores Generalizados.]
  
  
• No se admiten predicados de predicados (predicados de orden superior). Por ejemplo, si A(e) es “El elemento e es azul”, no podemos expresar que el azul es oscuro (es decir, aplicar el predicado “oscuro” al predicado “azul”).
  
  La lógica de predicados de segundo orden (LP2) admite predicados de orden superior junto con la posibilidad de cuantificar los predicados y utilizarlos como variables. Pero debería haber predicados de cualquier orden.
  
  
• No hay una notación estándar para los predicados contrarios. Por ejemplo, “Este objeto no es azul”. No es lo mismo no tener un predicado que el predicado contrario.
  
  
• El tema de los predicados se contempla en el marco de la lógica, cuando se trata de algo absolutamente general, es decir, un predicado debería poderse aplicar, no solo a las expresiones lógicas, sino a todo tipo de expresiones: funciones, reglas, estructuras, etc.
  
  
• No se diferencia entre predicados intrínsecos y extrínsecos. Solo se contemplan predicados extrínsecos, que son atributos o cualidades (azul, rico, alto, bueno, mortal, etc.). Los predicados intrínsecos son los que posee una entidad por sí misma. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c} tiene la propiedad intrínseca de tener 3 elementos.
  
  
• El ámbito de un cuantificador es, a veces, ambiguo, especialmente cuando se utilizan varios cuantificadores en una misma expresión. El problema reside en que no está delimitado formalmente el ámbito de cada identificador.
  
  
• El lenguaje LP1 es descriptivo. Al no ser operativo, las expresiones lógicas son estáticas, no pueden modificarse dinámicamente. Tampoco se contemplan funciones ni expresiones recursivas.
  
  
• El lenguaje LP1 (al igual que el de la lógica proposicional) es un lenguaje particular, que no está integrado en un lenguaje general o en un lenguaje universal.

MENTAL, un Lenguaje Predicativo Generalizado
Expresiones predicativas

• Con un argumento: P(a) se codifica como a/P (el elemento a se particulariza mediante el predicado, atributo o cualidad P. Esta notación se corresponde con la del lenguaje natural (como en “Sócrates es hombre”): Sócrates/hombre. La primitiva “Particularización” es genérica; es aplicable a cualquier expresión. Su utilización como elemento/predicado es solo un caso particular.
  
  También se puede utilizar la notación funcional, pero cuyo resultado no es V (verdadero), sino un elemento o un conjunto de elementos. Por ejemplo,
  
  
  (Padre(David) = Pepe)
Hijos(Pepe) = {JoseJuan Natalia Eva David}
  
  
• Con varios argumentos: P(a₁, a₂, ... , a_n) se codifica mediante una estructura de particularización a varios niveles, con predicados de orden superior. Ejemplos:
  
  
  1. “Un objeto azul oscuro”: objeto/(azul/oscuro)
     
     
  2. “David y Eva son hermanos”: {David Eva}/hermanos
     
     
  3. “Juan dio un libro a María” es una relación ternaria (entre los elementos Juan, libro y María), que podemos expresar como un cierto evento e que consta de cuatro atributos:
     
     ( e/((sujeto/Juan) (acción/dar) (objeto/"un libro") (receptor/María)) )
     
     En este caso, el atributo tiene la estructura “nombre/valor”.
  
  
• El predicado contrario de p es p' (por la semántica general del operador contrario). Por ejemplo, a/(azul') (a no es azul).
  
  
• Se permiten expresiones recursivas. Por ejemplo:
  
  x es antecesor (Ant) de y si x es progenitor (Pro) de y, o bien si existe un z que sea antecesor de y):
  
  
  ⟨( x/(Ant(y)) ↔ ((x/(Pro(y)) ∨ ⟨z/(Ant(y))⟩ )⟩

Cuantificadores

Con MENTAL se pueden especificar varios tipos de los cuantificadores mencionados anteriormente. Por ejemplo:

• Concretos. Se especifican como magnitudes.
  “3 hombres”: 3*hombre
  
  “3 hombres altos”:
  3*(hombre/alto)
  
  
• Concretos-difusos.
  “Al menos 3 hombres”:
  ( {⟨( x ← x/h )⟩}# ≥ 3 )
  
  “Entre 3 y 7 hombres”:
  ( {⟨( x ← x/h )⟩}# ∈ {3…7} )
  (siendo h el predicado “hombre”)
  
  
• Proporcionales.
  “La mayoría de los hombres fuman” (h: predicado “hombre”, f: predicado “fuma”, f': predicado “no-fuma”):
  
  ( {⟨( x ← x/h ← x/f )⟩}# > {⟨( x ← x/h ← x/(f') )⟩}# )
  (El número de hombres que fuman es mayor que el que no fuman)

Cuantificadores restringidos a un ámbito

• Cuantificador universal.
  Los cuantificadores universales se expresan como parámetros de expresiones genéricas (que se codifican en negrita) y su ámbito viene claramente delimitado por los símbolos “⟨” y “⟩”.
  
  Ejemplo: Todo elemento x perteneciente a un conjunto C, cumple la propiedad P.
  
  
  Notación tradicional:
  ∀x(x∈C → Px)
  
  Notación MENTAL:
  ⟨( x∈C → x/P )⟩
  
  
• Cuantificador existencial.
  Los cuantificadores existenciales se expresan como el número de elementos de un conjunto que cumplen la propiedad de ser mayor que cero o ser distinto del conjunto vacío.
  
  Ejemplos:
  
  
  1. Existe al menos un elemento x perteneciente a un conjunto C que cumple la propiedad P.
     
     Notación tradicional:
     (∃x)(x∈C ∧ Px)
     
     Notación MENTAL:
     {⟨( x∈C ∧ x/P )⟩ }≠∅
     o bien
     ({⟨( x∈C ∧ x/P )⟩ }# > 0)
     
     
  2. Para cada número natural n, existe un número m más grande.
     
     Notación tradicional:
     ∀n∈N ∃m∈N | m>n
     
     Notación MENTAL: ⟨( n → {⟨m>n⟩}≠∅
     
     
  3. Entre dos números reales distintos, hay un número intermedio.
     
     Notación tradicional:
     ∀r1∀r2(r1∈R ∧ r2∈R) → ∃r3 | r1>r3 ∧ r3<r2
     
     Notación MENTAL: ⟨( r1≠r2 → {⟨( r>r1 ∧ r<r2)⟩ }≠∅

Se puede simplificar la notación definiendo (si x es un conjunto);

⟨( ∃x = x≠∅ )⟩ o bien ⟨( ∃x = (x# > 0) )⟩

Por ejemplo, la notación de ejemplo 1 sería: ∃{⟨(x∈C ∧ x/P)⟩}


Cuantificadores generalizados

Los cuantificadores tradicionales son solo de primer orden, es decir, se refieren a una cantidad de elementos de un conjunto que cumplen una propiedad de tipo cualitativo (todos o algún). En MENTAL, los cuantificadores se pueden generalizar mediante el número de entidades (elementos de un conjunto, conjuntos, conjuntos de conjuntos, etc.) que cumplen un cierto criterio de selección.

En los siguientes ejemplos, S es un conjunto de conjuntos:

1. Algunos conjuntos de S tienen más de n elementos.
   
   {⟨( C∈S → (C# > n) )⟩ }>1
   
   
2. Todos los conjuntos de S contienen algún elemento con la propiedad P.
   
   ⟨( C∈S → {⟨( x∈C ← x/P )⟩} = C# )⟩
   
   
3. El número de conjuntos que contienen más de n elementos es m.
   
   {⟨( C# > n )⟩} = m )⟩

Propiedades

1. Si todos los elementos tiene la propiedad P, entonces existen elementos que tienen la propiedad P.
   
   ∀xPx → ∃xPx
( ⟨x/P⟩ → {⟨x/P⟩}≠∅ )
   
   
2. Si todos los elementos tiene la propiedad P, entonces no hay elementos que no tengan la propiedad P; y viceversa.
   
   ∀xPx ↔ ¬∃x¬Px
( {⟨x/P⟩} ↔ {⟨(x ←' x/P)⟩}= ∅ )
   
   
3. Si existe un elemento que tiene la propiedad P, entonces no todos los elementos no tienen la propiedad P); y viceversa.
   
   ∃xPx ↔ ¬∀x¬Px
( {⟨(x/P)⟩}≠∅ ↔ {⟨(x ←' x/P)⟩}≠∅ )

Conclusiones

MENTAL, como lenguaje formal universal, supone grandes ventajas sobre la notación tradicional de la lógica de predicados:

• Aporta una notación homogénea y coherente, en un lenguaje integrado, que es descriptivo y operativo.
  
  
• Los predicados pueden aplicarse a cualquier expresión.
  
  
• El cuantificador universal es un parámetro en las expresiones genéricas, por lo que la notación se simplifica.
  
  
• Se pueden especificar formalmente cuantificadores y predicados de orden superior, utilizando los recursos genéricos del lenguaje.
  
  
• Se pueden definir cuantificadores generalizados.

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Adenda
La Conceptografía de Frege

Frege publicó en 1879 su revolucionaria obra titulada “Begriffsschrift” (Conceptografía) en la que sentó las bases de la lógica matemática moderna, iniciando una nueva era en esta disciplina que había permanecido prácticamente inalterada desde Aristóteles. En esta obra realizó una contribución decisiva: la lógica de predicados, incluyendo los cuantificadores “Todos” y “Algún” (en notación moderna, ∀ y ∃, respectivamente).

Los cuantificadores de Frege actuaban sobre una expresión como una totalidad. Actualmente, se considera un “ámbito” sobre el que actúan los cuantificadores.

Frege descubrió que los cuantificadores de Aristóteles no eran relaciones entre elementos sino entre conjuntos de elementos. Eran diádicos (de dos argumentos), pero que era posible definirlos como monádicos (de un argumento) utilizando la implicación lógica. Por ejemplo, en ∀x(Ax → Bx) el operador ∀ es monádico.


Bibliografía

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• Deaño, Alfredo. Introducción a la Lógica formal. La lógica de predicados (Tomo 2). Alianza, 1975.
  
  
• Groenendijk, J; Stokhof, M. Dynamic Predicate Logic. Linguistics and Philosophy, 14, 39-100, 1991.
  
  
• Lamiquiz Ibáñez, Vidal. La cuantificación lingüística y los cuantificadores. Universidad Nacional de Educación a Distancia, 1990.
  
  
• Leonetti Jungl, Manuel. Los cuantificadores. Arco Libros, 2008.
  
  
• Krynicki, M; Mostowski, M.; Szczerba, L. (edits.). Quantifiers, models and computation. 1995.
  
  
• López Palma, Helena. La interpretación de los cuantificadores, aspectos sintácticos y semánticos. Visor Libros, 2000.
  
  
• Montague, Richard. The proper treatment of quantification in English. Disponible en Internet.
  
  
• Pospesel, Howard. Introduction to Logic: Predicate Logic. Prentice Hall, 2002.